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之前的文章，我们分析了如何在希尔伯特空间中通过kets表示粒子，

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并探讨了处理这些kets所涉及的一些数学内容。这篇文章，我将转向量子力学系统框架的另一部分：如何表示物理量。之前，我们假设物理量是通过希尔伯特空间上的线性算符表示的。现在我们将进一步发展这个想法，并将其数学化。

首先，我们将使用“可观测量”这个词来表示任何可以从粒子中测量出来的物理量。这包括位置、动量、能量、角动量或它们的任何组合——基本上是我们可以测量并因此观察到的任何东西。

在深入探讨如何将这些可观测量表示为算符之前，我想提醒大家一下线性算符的正式定义，以确保我们步调一致。你可能还记得，线性算符是保持空间线性结构的矢量空间上的映射。换句话说，线性映射满足以下性质：加法仍然是加法，标量乘法仍然是标量乘法。

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请注意，线性算符是一个抽象的映射，而矩阵是在特定基底中对线性算符的表示。稍后会看到，量子力学没有标准的基底，这就是为什么我们几乎总是在处理抽象算符本身。回到量子力学，我们已经建立了物理可观测量可以由kets空间上的线性算符表示。现在让我们深入探讨这个想法。

首先，给定一个可观测量算符，我们如何得到可以测量的可能值呢？为了解决这个问题，让我们以角动量为例。假设有一个粒子和一个测量角动量的装置。

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我们可以进行一次测量，得知此时此刻粒子的角动量为1.41牛顿米秒；因此，此时粒子必须由与该角动量结果对应的特定量子态表示，

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想一想：测量告诉了我们角动量是多少，所以不可能处于多个结果的叠加态，粒子必须处于代表这一结果的状态。

如果设备告诉我们粒子的角动量是2.44牛顿米秒，那么粒子就会处于与该结果对应的量子态。希望你能看到，这对于可以测量的任何角动量值都适用。因此，有一个可能的测量值列表以及代表100%具有该值的状态的kets。

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我们称这些特殊状态为确定态。在这些特殊状态下，粒子对角动量有一个确定的100%确定的值，没有任何例外。

那么如何从角动量算符得到这个列表呢？我们有一个确定的角动量kets和相关值的列表...我不知道你怎么想，但对我来说这明显是特征值和特征向量。

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特征值是通过测量得到的物理量的可能值。

特征向量是系统处于这种特定测量结果时的量子态。

大多数教科书只是将此作为一个事实陈述，但希望你能理解为什么特征向量的出现是非常合理的。

所以，每个物理可观测量都由这个矢量空间中的某个线性算符表示。要找出该可观测量的所有可能值，找到其特征值。要找出哪个状态对应于该特定值，找到与该特征值对应的特征向量。

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这些特征向量称为特征态，代表100%具有该可观测量值的确定态。这是我们在量子力学中表示可观测量的基本框架。

现在让我们将其与我们对量子态的当前理解联系起来，

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我们一直希望将粒子表示为测量所有可能结果的叠加态。现在我们终于有了框架和语言来做到这一点。现在知道，这些结果态实际上是可观测量的确定态，它们是其特征态。因此，数学上，处于结果叠加态意味着处于可观测量的特征向量的线性组合中。

注意，我们还没有讨论系数如何与概率相关，或者当我们实际进行测量时会发生什么。我将在下一篇详细讨论这一点，并推导出玻恩规则。

现在，仅凭这些，我们已经可以使用物理学家的直觉推导出物理可观测量应具有的数学性质。首先，可观测量需要有实数的特征值。直观上，不可能一个粒子的能量是2 + 3i这样的复数。物理量本质上是实数的。

接下来，可观测量的特征态必须覆盖整个矢量空间。记住，一组矢量的“张成”是由这些矢量的所有可能线性组合所形成的子空间。因此，这个性质表明，可观测量的特征态的线性组合覆盖了整个量子矢量空间。换句话说，任何量子态都可以写成特征态的线性组合。

其实证明这一点并不难，关键在于要意识到每个粒子都有一个可观测量的值；这意味着，每个粒子都有某个位置、动量、能量等的值，所以，例如，不存在位置为“无”的粒子。

基于这个想法，想象一下如果能量特征向量没有张成整个空间。这将意味着存在某个量子态在张成之外，因此不能写成能量特征态的叠加。所以，这个量子态没有可能的能量测量结果，因为，特征态代表从测量中得到的确定态，而这个量子态不能用任何特征态表示！但这不可能，粒子在测量时必须有某个能量值。因此，它必须处于能量特征态的某种叠加中。这对于可以测量的其他所有可观测量也必须成立。

最后，可以推导出特征态必须是互相正交的，也就是说它们必须是垂直的。我们可以使用箭头类比来理解为什么这是正确的。

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这里有非正交的态L_1和L_2。由于它们不是正交的，我们可以将L_1分解为两个分量：一个沿着L_2的分量（可以写成L_2的某个标量倍），再加上某个正交分量。

记住，我们定义了确定态是粒子对某个可观测量有100%确定值的状态。然而，在这里L_1态包含了L_2态的叠加，这意味着如果进行测量，有可能得到L_2。这毫无道理，违背了我们对这些确定态的定义。因此，一个可观测量的特征态必须是互相正交的。

因此，一个可观测量的特征态必须满足两点：1. 覆盖整个矢量空间；2. 互相正交（因此是线性无关的）。你怎么称呼一组线性无关且覆盖整个空间的矢量呢？基底！

总结一下：在量子力学中，所有物理可观测量都由一个线性算符表示。仅凭物理直觉，我们发现这个算符必须有一个正交归一的特征基底，代表该可观测量的确定态。相应的特征值必须是实数，因为它们代表了在相应特征态中测量到的值。

这些性质通常是通过假设可观测量是厄米算符（Hermitian operators）来推导的……但你是否好奇为什么我们一开始要假设它们是厄米的呢？

现在，还有一些未解的问题；最重要的是，我们如何计算与每个特征值相关的测量概率呢？我将在下一篇文章中回答这个问题并推导出玻恩规则。到时候，我们将把所有内容联系起来，阐述量子物理数学模型的完整框架。

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